Về những bài toán tổ hợp và xác suất 13
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (540.23 KB, 75 trang )
Bạn đang đọc: Về những bài toán tổ hợp và xác suất 13 – Tài liệu text
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
“VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP
VÀ XÁC SUẤT”
HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60460113
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
HÀ NỘI – 2015
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các
thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Từ tận đáy lòng em xin
bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến thầy.
Mặc dù đã rất nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu nhưng chắc
chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn
của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 3 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Thanh Tân
Mục lục
Mở đầu. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Chương 1: Những bài toán đếm
1.1
1.2
2.2
4
Cơ sở lý thuyết tổ hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
4
1.1.1
Quy tắc cộng và quy tắc nhân. .. .. .. .. .. .. .. .
4
1.1.2
Giai thừa và hoán vị. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
1.1.3
Chỉnh hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
1.1.4
Tổ hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6
1.1.5
Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp. .. . .
6
Các dạng toán đếm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
7
1.2.1
Các phương pháp đếm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
7
1.2.2
Các bài toán đếm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9
Chương 2: Những bài toán về xác suất
2.1
3
23
Cơ sở lý thuyết xác suất. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 23
2.1.1
Một số định nghĩa cơ bản của xác suất. .. .. .. .. .. 23
2.1.2
Quan hệ giữa các biến cố. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 26
2.1.3
Các công thức tính xác suất. .. .. .. .. .. .. .. .. . 28
Một số bài toán xác suất. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 31
2.2.1
Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển. .. .. .. .. .. 31
2.2.2
Tính xác suất bằng công thức cộng và nhân xác suất. .. 37
2.2.3
Tính xác suất bằng công thức xác suất có điều kiện. .. . 44
2.2.4
Tính xác suất bằng công thức xác suất đầy đủ và Bayes. 48
2.2.5
Tính xác suất bằng công thức Becnoulli. .. .. .. .. .. 57
2.2.6
Tính xác suất bằng định nghĩa hình học. .. .. .. .. .. 62
2.2.7
Các bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc. .. .. .. .. .. 67
Kết luận. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 72
Tài liệu tham khảo. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73
3
Mở đầu
Tổ hợp và xác suất là một trong những lĩnh vực toán học được nghiên cứu
từ khá sớm, nó đã được khai thác và ứng dụng rất nhiều vào trong đời sống sản
xuất. Hiện nay trong giáo dục phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những
nội dung quan trọng, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, cao
đẳng, thậm chí là các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Mặc dù nội dung
không khó nhưng học sinh thường xuyên gặp khó khăn khi giải quyết các bài
toán này, nhất là các bài toán liên quan đến xác suất.
Luận văn này chủ yếu tập trung vào các dạng toán xác suất, từ đó giúp học
sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về các bài toán liên quan đến xác suất. Luận
văn được chia thành hai chương
Chương 1. Những bài toán về tổ hợp.
Chương 2. Những bài toán về xác suất.
Tất cả các bài toán tổ hợp trong chương 1 chính là nền móng để xây dựng và
giải quyết một số bài toán xác suất trong chương 2. Hy vọng đây sẽ là một tài
liệu hữu ích trong giảng dạy cũng như học tập của thầy, cô và các em học sinh.
3
Chương 1
Những bài toán đếm
Chương này ta sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp cũng như lý thuyết
cơ bản của tổ hợp như hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, một số nguyên lý đếm và các
bài tập có liên quan trong chương trình phổ thông.
1.1
1.1.1
Cơ sở lý thuyết tổ hợp
Quy tắc cộng và quy tắc nhân
1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B ,
trong đó có n cách thực hiện phương án A, m cách thực hiện phương án B. Khi
đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
Tổng quát, giả sử môt công việc có thể thực hiện theo một trong k phương
án A1, A2 ,. .., Ak, trong đó có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện
phương án A2 ,. . ., nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể
được thực hiện bởi n1 + n2 + · · · + nk cách.
Biểu diễn dưới dạng tập hợp. Số phần tử của tập hữu hạn A được kí hiệu là |A|.
Nếu A1, A2 ,. .., An là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì
|A1 ∪ A2 ∪. .. ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |
hay
n
n
|Ak |.
Ak =
k=1
k=1
4
2. Quy tắc nhân
Giả sử công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B, trong đó công đoạn A
có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc
có thể thực hiện theo nm cách.
Tổng quát, giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2 ,. .., Ak, ông
đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2
cách, công đoạn A3 có thể thực hiện theo n3 cách,. . ., công đoạn Ak có thể thực
hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2. .. nk cách.
Biểu diễn dưới dạng tập hợp.
Nếu A1, A2 ,. .., An là n tập hữu hạn với |Ak | = mk (k = 1, 2,. .., n). Khi đó
n
|A1 × A2 × · · · × An | = m1 × m2 × · · · × mn =
mk .
k=1
1.1.2
Giai thừa và hoán vị
1. Giai thừa
Định nghĩa 1. n giai thừa, kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ
1 đến n.
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗ .
Quy ước 0! = 1, 1! = 1.
2. Hoán vị
Định nghĩa 2. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Một cách sắp thứ tự n
phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử
Pn = n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n.
1.1.3
Chỉnh hợp
Định nghĩa 3. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k
phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ
tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
5
Công thức
Akn =
n!
= n(n − 1)(n − k + 1) (với 1 ≤ k ≤ n).
(n − k)!
Chú ý. Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hoán vị của n phần tử
Ann = Pn = n!.
1.1.4
Tổ hợp
Định nghĩa 4. Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥ 1. Mỗi tập con gồm k phần
tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 ≤ k ≤ n).
Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n) là số các tổ hợp chập k của n phần tử.
Công thức
Cnk =
n!
.
k!(n − k)!
Chú ý. Cn0 = 1
Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n)
k+1
(1 ≤ k ≤ n).
Cnk + Cnk+1 = Cn+1
1.1.5
Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp
1. Chỉnh hợp có lặp
Định nghĩa 5. Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi dãy có độ dài k các
phần tử của A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo
một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.
Chú ý. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là nk .
2. Hoán vị lặp
Định nghĩa 6. Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được
gọi là hoán vị lặp.
Chú ý. Số hoán vị lặp của n phần tử thộc k loại, mà các phần tử từ loại i
(1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n lần được kí hiệu là P (n1, n2 ,. .., nk ) và được tính bằng
công thức
P (n1, n2 ,. .., nk ) =
6
n!
.
n1 !n2 !. .. nk !
3. Tổ hợp lặp
Định nghĩa 7. Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Một tổ hợp chập m (m
không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần
tử, mà mỗi phần tử này là một trong các phần tử của A.
Chú ý. Số tổ hợp có lặp chập m của n phần tử là
n−1
m
Cnm = Cn+m−1
= Cn+m−1
.
1.2
Các dạng toán đếm
1.2.1
Các phương pháp đếm
1. Phương pháp đếm trực tiếp
Tùy theo bài toán ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp để
đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2. Phương pháp đếm vị trí
+ B1. Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho
các số tiếp theo.
+ B2. Sắp xếp các số còn lại.
3. Phương pháp đếm loại trừ
+ B1. Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n1 .
+ B2. Đếm số phương án không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quả n2 .
+ B3. Số phương án đúng là n = n1 − n2 .
Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ khi phương pháp đếm trực tiếp có quá
nhiều trường hợp.
4. Phương pháp lấy trước rồi xếp sau
+ B1. Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tích chất mà bài toán yêu
cầu.
+ B2. Sắp xếp
Phương pháp này dùng cho các bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt.
5. Phương pháp tạo vách ngăn
+ B1. Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn.
7
+ B2. Sắp xếp đối tượng khác nhau theo yêu cầu bài toán vào m + 1 vách
ngăn trên.
6. Công thức bao hàm loại trừ
Cho A1, A2 là hai tập hữu hạn, khi đó
|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |.
Từ đó với ba tập hữu hạn A1, A2, A3 ta có
|A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − |A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 |.
Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2 ,. .., Ak ta có
|A1 ∪ A2 ∪. .. ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 −. .. + (−1)k−1 Nk ,
trong đó Nm (1 ≤ m ≤ k ) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập
đã cho, nghĩa là
|Ai1 ∩ Ai2 ∩. .. ∩ Aim |.
Nm =
1≤i1
Bây giờ, ta đồng nhất tập Am (1 ≤ m ≤ k) với tính chất Am cho trên tập hữu
hạn A nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của A “không thỏa mãn một
tính chất Am nào”. Gọi N là số cần đếm, N là số phần tử của A. Ta có
N = N − |A1 ∪ A2 ∪. .. ∪ Ak | = N − N1 + N2 −. .. + (−1)k Nk ,
trong đó Nm là tổng các phần tử của A thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất
đã cho. Công thức này gọi là công thức bao hàm và loại trừ.
Nhận xét.
Hầu nết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên
để giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng
của học sinh.
Đối với bài toán ban đầu có số 0, ta xét trường hợp xem số 0 là một số có
nghĩa, được kết quả n1 ; xét trường hợp số 0 đứng đầu, ta được kết quả là n2 ,
kết quả cần tìm sẽ là n1 − n2 .
8
1.2.2
Các bài toán đếm
1. Chọn một nhóm phần tử từ một hay nhiều tập hợp
Bài tập 1.1. Một lớp học có 40 em gồm 25 nam, 15 nữ. Cần chọn một ban cán
sự gồm 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu
a) Ban cán sự có ít nhất một nam?
b) Ban cán sự có ít nhất một nam và một nữ?
Lời giải. a) Nếu trong ban cán sự lớp có ít nhất 1 bạn nam thì có 4 khả năng
xảy ra
1 · C 3 cách chọn.
1 nam và 3 nữ có C25
15
2 · C 2 cách chọn.
2 nam và 2 nữ có C25
15
3 · C 1 cách chọn.
3 nam và 1 nữ có C25
15
4 cách chọn.
4 nam và không có nữ có C25
Vậy có tất cả
1
3
2
2
3
1
4
C25
· C15
+ C25
· C15
+ C25
· C15
+ C25
= 469576 cách.
4 cách chọn. Nếu ban cán sự gồm toàn
b) Nếu ban cán sự gồm toàn nam có C25
4 cách chọn. Ban cán sự gồm 4 người bất kỳ có C 4 cách chọn. Vậy số
nữ có C15
40
cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là
4
4
4
C40
− C25
− C15
= 77375 cách.
Bài tập 1.2. Người ta sử dụng 3 loại sách gồm 8 cuốn sách về Toán, 6 cuốn
sách về Lí và 5 cuốn sách về Hóa. Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đôi một khác
nhau. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởng
sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?
7. Bây giờ, ta tính số
Lời giải. Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách bất kỳ là C19
cách chọn sao cho không có đủ 3 loại sách. Chọn 7 trong số 11 cuốn sách Lí và
7 cách. Chọn 7 trong số 13 cuốn sách Toán và Hóa có C 7 cách. Chọn
Hóa có C11
13
9
7 cách. Chọn 7 trong số 8 cuốn sách
7 trong số 14 cuốn sách Toán và Lí có C14
Toán có C87 cách. Áp dụng công thức bao hàm loại trừ, số cách chọn phải tìm là
7
7
7
7
− C87 = 44918 cách.
− C14
− C13
− C11
C19
Bài tập 1.3. (Đề thi đại học, cac đẳng khối D-2006). Đội thanh niên xung kích
của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp
L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh
không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Lời giải. Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh, B là
tập hợp cách chọn không thỏa mãn yêu cầu đề bài, C là tập hợp cách chọn
thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có A = B ∪ C, B ∩ C = ∅. Theo quy tắc cộng ta có
4 = 495. Để tính |B|, ta nhận
|A| = |B| + |C| ⇔ |C| = |A| − |B|. Dễ thấy |A| = C12
thấy sẽ chọn 1 lớp có hai học sinh, hai lớp còn lại mỗi lớp một học sinh. Theo
quy tắc cộng và quy tắc nhân ta có
|B| = C52 C41 C31 + C51 C42 C31 + C51 C41 C32 = 270.
Suy ra
|C| = 495 − 270 = 225.
Bài tập 1.4. Trên một tủ sách có 12 quyển sách đứng cạnh nhau. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn 5 quyển mà không có 2 quyển nào đứng cạnh nhau?
Lời giải. Số cách chọn 5 quyển sách thỏa mãn yêu cầu đề bài chính là số cách
xếp 5 quyển sách giống nhau vào một ngăn sách đã đặt sẵn 7 quyển sách sao
cho trong 5 quyển này không có 2 quyển nào đặt cạnh nhau. 7 quyển sách trên
giá sẽ tạo ra 8 khoảng trống. Xếp 5 quyển sách vào 8 vị trí sao cho mỗi quyển
ở một vị trí có C85 cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là C85 cách.
Bài tập 1.5. Có 12 người ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 5 người mà không có 2 người nào ngồi cạnh nhau?
10
Lời giải. Ta cố định một người và đặt người này là A.
Nếu 5 người được chọn có mặt người A suy ra không thể chọn 2 người ngồi
cạnh A nữa, vậy ta sẽ chọn 4 người trong 9 người còn lại sao cho trong 4 người
này, không có 2 người nào ngồi cạnh nhau. Theo Bài tập 1.4 ở trên, số cách chọn
sẽ là C64 cách.
Nếu 5 người được chọn không có A, vậy ta chọn 5 người trong số 11 người
còn lại, theo trên ta có C75 cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn đề bài là C64 + C75 = 36 (cách).
Bài tập tự giải
Bài tập 1.6. (Đề thi đại học, cao đẳng khối B-2014). Trong một môn học, thầy
giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ.
Từ 30 câu đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác
nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ
không ít hơn 2?
Bài tập 1.7. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm k người trong số n người
sao cho có một người làm nhóm trưởng.
Bài tập 1.8. Có bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách từ giá sách gồm 6 quyển
sao cho có đúng 2 quyển đứng cạnh nhau?
Bài tập 1.9. Có 10 cây giống gồm xoài, mít, ổi trong đó có 6 cây xoài, 3 mít
và 1 ổi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 cây trong đó có đủ cả 3 loại?
Bài tập 1.10. Có 10 người ngồi cạnh nhau quanh một bàn tròn. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra 3 người sao cho 3 người đó ngồi cạnh nhau?
2. Sắp xếp thứ tự các phần tử
Bài tập 1.11. Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3 viên
bi đỏ đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bi vào 12 ô theo
một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi?
Lời giải. Nếu tất cả 12 viên bi đều khác nhau thì số hoán vị chúng tạo thành là
P12 = 12!. Nhưng các hoán vị của 5 bi xanh và các hoán vị của 4 bi trắng cho
11
cùng một cách sắp xếp đối với 12 viên bi nên số cách sắp xếp phải tìm là
P12
12!
=
= 166320 cách.
P5 P4
5!4!
Bài tập 1.12. Cần xếp 5 bạn nam và 4 bạn nữ theo một hàng dọc mà không
cho phép hai bạn nữ nào đứng liền kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Lời giải. Đầu tiên, ta sắp xếp 5 bạn nam theo một hàng dọc có khoảng cách, ta
có P5 = 5! cách xếp 5 bạn nam.
Với mỗi cách xếp 5 bạn nam ta đều có 6 vị trí để xếp các bạn nữ vào, đó là
vị trí đứng đầu, 4 vị trị xen giữa và vị trí đứng cuối. Số cách sắp xếp 4 bạn nữ
đối với cách sắp xếp bạn nam sẽ là A46. Vậy có P5 A46 = 43200 cách sắp xếp thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 1.13. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ
ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?
Lời giải. Trước tiên ta sắp xếp vị trí cho 5 học sinh nam. Bạn nam thứ nhất có
một cách chọn chỗ ngồi vì chỗ ngồi nào cũng không phân biệt so với vị trí bàn
tròn. Xếp 4 người nam còn lại có P4 cách xếp.
Sau khi xếp 5 bạn nam vào bàn tròn, ta sẽ có 5 khoảng xen kẽ giữa các bạn
nam. Xếp 3 bạn nữ vào 5 vị trí này có A35 cách xếp.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu là 4!A35 (cách).
Bài tập 1.14. Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước, Anh 3 người,
Nga 5 người, Mỹ 2 người, Pháp 3 người, Trung quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu
cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi
cạnh nhau?
Lời giải. Nếu một phái đoàn nào ngồi vào trước thì bốn phái đoàn còn lại có 4!
cách xếp. Như vậy có 24 cách sắp xếp các phái đoàn ngồi theo quốc gia mình.
Bây giờ ta xem có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho nội bộ từng phái đoàn.
Từ giả thiết ta có
3! cách sắp xếp cho phái đoàn Anh
5! cách sắp xếp cho phái đoàn Nga
12
2! cách sắp xếp cho phái đoàn Mỹ
3! cách sắp xếp cho phái đoàn Pháp
4! cách sắp xếp cho phái đoàn Trung Quốc.
Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp cho hội nghị là
n = 4!3!5!2!3!4! = 4976640 cách.
Bài tập 1.15. Có n bạn nam và n bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2n bạn
này ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối diện?
Lời giải.
Xếp n bạn nam vào một dãy ghế có n! cách.
Xếp n bạn nữ vào một dãy ghế có n! cách.
Đổi chỗ n cặp nam nữ đối diện có 2.2.. .. 2 = 2n cách.
n
Vậy số cách xếp 2n bạn nàm và nữ vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ
ngồi đối diện là (n!)2 .2n cách.
Bài tập tự giải
Bài tập 1.16. (Trích VMO 2005 – Bảng B). Theo dõi kết quả học tập ở một
lớp học ta thấy
hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn toán và môn vật lí;
hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn văn và môn lịch sử;
hơn 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn lịch sử và môn toán.
Chứng minh rằng trong lớp có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi ở cả bốn môn
Toán, Vật lí, Văn và Lịch sử.
Bài tập 1.17. Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách
a) Xếp 10 học sinh thành một hàng dọc.
b) Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế.
Bài tập 1.18. Phân phối n quả cầu phân biệt vào m hộp phân biệt n ≥ m. Có
bao nhiêu cách phân phối mà
a, Hộp có thể chứa nhiều hoặc không chứa quả cầu nào?
b, Mỗi hộp chứa ít nhất một quả cầu?
13
Bài tập 1.19. Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hàng dọc đi vào lớp. Có
bao nhiêu cách xếp mà học sinh nữ đứng đầu hàng?
Bài tập 1.20. Giả sử có cặp số nguyên dương k, n mà k ≤ n. Có bao nhiêu dãy
gồm n số 0 và k số 1 mà không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau?
3. Phân chia tập hợp các phần tử thành các tập hợp con
Bài tập 1.21. Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao
cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật?
Lời giải. Giả sử 100 đồ vật được xếp thành hàng ngang, giữa chúng có 99 khoảng
trống. Đặt một cách bất kỳ 3 vạch vào 3 trong số 99 khoảng trống đó, ta được
một cách chia 100 đồ vật ra thành 4 phần để lần lượt gán cho 4 người. Khi đó,
mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật và tổng số đồ vật của 4 người đó bằng
100, thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3 = 156849 cách.
Vậy số cách chia là C99
Ngoài cách làm trên thì bài toán còn có thể giải quyết bằng phương pháp
hàm sinh. Tôi xin đưa ra một số lý thuyết cơ bản về hàm sinh (xem [1]).
Hàm sinh của dãy số thực a0, a1 ,. .., an ,. .. là hàm số được xác định bởi
G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · ·
Một số đẳng thức liên quan đến hàm sinh
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · ·
1−x
1
= 1 + 2x + 3×2 + 4×3 + · · ·
2
(1 − x)
1
n(n + 1) 2 n(n + 1)(n + 2) 3
= 1 + nx +
x +
x + ··· =
n
(1 − x)
2!
3!
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · ·
1+x
1
= 1 + 2ax + 3a2 x2 + 4a3 x3 + · · ·
(1 − ax)2
1
= 1 + xr + x2r + x3r +. . .
1 − xr
14
∞
i
Ci+n−1
xi
i=0
Ý tưởng chung của phương pháp sử dụng hàm sinh giải bài toán đếm là đi
tìm hệ số của xi trong khai triển của hàm sinh với i là số phần tử được chọn ra
trong n đối tượng với những điều kiện ràng buộc cho trước. Cụ thể trong bài
toán trên, hàm sinh cho số cách chia đồ vật cho người thứ nhất là
A(x) = x + x2 + x3 + · · · + x97 = x
1 − x97
1−x
.
Tại sao tổng trên ta chỉ bắt đầu từ x1 và kết thúc ở x97 ? Đó là vì người thứ nhất
chắc chắn nhận được một đồ vật, ba người còn lại cũng nhận được ít nhất một
đồ vật nên số đồ vật người thứ nhất nhận được chỉ có thể lầ từ 1 đến 97. Tương
tự, hàm sinh cho số cách chia đồ vật cho người thứ hai, ba, bốn cũng là A(x).
Vậy hàm sinh cho số cách phân phối 100 đồ vật giống nhau cho bốn người
sao cho mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật là
4
G(x) = (A(x)) = x
4
1 − x97
1−x
4
=
(x − x98 )4
.
(1 − x)4
Bây giờ ta chỉ cần đi tìm hệ số của x100 trong khai triển của G(x) và đó cũng là
kết quả của bài toán. Ta có
(x − x98 )4 = (x4 − 4×101 + 6×198 − 4×295 + x392 )
1
=
(1 − x)4
∞
i
Ci+3
xi .
i=0
96 .
Ta chỉ cần tìm i sao cho x4 xi = x100, hay i = 96. Suy ra hệ số của x100 là C99
96 = 156849 cách chia thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy có C99
Bài tập 1.22. Cô giáo có 12 quyển vở giống hệt nhau để làm phần thưởng cho
ba học sinh A, B, C. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chia vở cho ba học sinh biết
A phải nhận được ít nhất 4 quyển, B và C mỗi người ít nhất 2 quyển nhưng C
không được nhiều hơn 5 quyển?
Lời giải. Trước tiên ta chia cho A 4 quyển, B và C mỗi người 2 quyển thì số vở
còn lại sẽ còn là 12 − 8 = 4 quyển. Bây giờ ta tiếp tục chia 4 quyển còn lại cho
A, B, C nhưng với điều kiện C không được có quá 3 quyển.
15
TH 1. C không nhận được quyển nào trong 4 quyển, chia 4 quyển cho A và B
có 5 cách chia.
TH 2. C nhận được 1 quyển, chia 3 quyển còn lại cho A và B có 4 cách chia.
TH 3. C nhận được 2 quyển, chia 2 quyển còn lại cho A và B có 3 cách chia.
TH 4. C nhận được 3 quyển, chia 1 quyển còn lại cho A và B có 2 cách chia.
Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu đề bài là
5 + 4 + 3 + 2 = 14 (cách).
Bây giờ, ta hãy thử giải bài toán theo phương pháp hàm sinh. Hàm sinh cho
số cách chia vở cho A là
A(x) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = x4
1 − x5
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chia vở cho B là
B(x) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = x2
1 − x5
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chia vở cho C là
C(x) = x2 + x3 + x4 + x5 = x2
1 − x4
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chia 12 quyển vở cho A, B, C là
G(x) = A(x)B(x)C(x)
1 − x5 2 1 − x 5 2 1 − x4
x8 (1 − x5 )2 (1 − x4 )
x
x
=
1−x
1−x
1−x
(1 − x)3
3
1
= x8 (1 − 2×5 + x10 )(1 − x4 )
x−1
3
1
= (x8 − x12 − 2×13 + 2×17 + x18 − x22 )
.
x−1
= x4
1
=
(x − 1)3
1C64 − 1C20 = 14.
Ta có
∞ i
i
i=0 ci+2 x
nên hệ số của x12 trong khai triển của G(x) là
Vậy số cách chia là 14 cách.
Nhận xét. Thoạt nhìn ban đầu chúng ta thấy cách giải bằng hàm sinh dài hơn
cách giải thông thường nhưng suy nghĩ sâu thêm chúng ta sẽ thấy đối với những
bài dữ liệu lớn thì cách liệt kê tỏ ra kém hiệu quả, thậm chí khó có thể giải
quyết được. Ta xét bài toán sau.
16
Bài tập 1.23. Trong túi xách của Long có 10 chiếc nhẫn vàng, 20 chiếc nhẫn
bạc và 30 chiếc nhẫn bạch kim. Hỏi Long có bao nhiêu cách chọn ra 30 đồ vật
để đem bán biết rằng mỗi loại trang sức có ít nhất một đồ vật được lấy ra.
Lời giải. Bài toán trên sẽ xảy ra rất nhiều trường hợp nếu giải quyết theo phương
pháp thông thường. Ta sẽ giải quyết bài toán trên bằng phương pháp hàm sinh.
Hàm sinh cho số cách chọn nhẫn vàng là
A(x) = x + x2 + x3 + · · · + x10 = x
1 − x10
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chọn nhẫn bạc là
B(x) = x + x2 + x3 + · · · + x20 = x
1 − x20
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chọn nhẫn bạch kim là
C(x) = x + x2 + x3 + · · · + x28 = x
1 − x28
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chọn 30 đồ vật đem bán, biết rằng mỗi loại trang sức có
ít nhất một loại được lấy ra là
G(x) = A(x)B(x)C(x)
= x3
(1 − x10 )(1 − x20 )(1 − x28 )
(1 − x)3
= (x3 − x13 − x23 + x33 − x31 + x41 + x51 − x61 )
Ta có
1
=
(1 − x)3
1
(1 − x)3
∞
i
Ci+2
xi .
i=0
27 − 1C 17 − 1C 7 = 199.
Suy ra hệ số của x30 trong khai triển của G(x) là 1C29
19
9
Vậy Long có 199 cách chọn 30 đồ vật đem đi bán mà mỗi loại có ít nhất một
đồ vật được lấy ra.
Bài tập 1.24. Có bao nhiêu cách phân phối 25 quả bóng giống hệt nhau vào 7
hộp riêng biệt sao cho hộp đầu có không quá 10 quả bóng và số bóng là tùy ý
trong sáu hộp còn lại.
17
Lời giải. Hàm sinh cho số cách chọn bóng vào hộp đầu tiên là
2
A(x) = 1 + x + x + · · · + x
10
1 − x11
=
.
1−x
Hàm sinh cho số cách chọn bóng vào hộp hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy là
B(x) = 1 + x + x2 + · · · + x25 =
1 − x26
.
1−x
Hàm sinh cho số cách phân phối 25 quả bóng vào bảy hộp này là
G(x) = A(x)[B(x)]6 = (1 − x11 )
Ta có
1
=
(1 − x)7
(1 − x26 )6
.
(1 − x)7
∞
i
Ci+6
xi .
i=0
25 − 1C 14 = 697521.
Suy ra hệ số của x25 là 1C31
20
Vậy số cách chia thỏa mãn yêu cầu là 697521 cách.
Bài tập 1.25. Có bao nhiêu cách gửi 8 bức ảnh khác nhau vào 5 phong bì khác
nhau sao cho mỗi phong bì có ít nhất một bức ảnh?
Lời giải. Gửi 8 bức ảnh vào 5 phong bì có 58 cách.
Bây giờ ta tính xem có bao nhiêu cách phân phối ảnh mà có r phong bì không
có ảnh (1 ≤ r ≤ 4). Trong trường hợp r phong bì không có ảnh thì 8 ảnh rải một
cách tự do cho (5 − r) phong bì nên có (5 − r)8 cách. Mặt khác, khi chọn r phong
bì trong 5 phong bì có C5r cách. Áp dụng công thức bao hàm loại trừ thì số cách
phân phối 8 ảnh vào 5 phong bì mà không có phong bì nào rỗng là
58 − C51 48 + C52 38 − C53 28 + C54 18 = 12600 (cách).
Chú ý. Ta cần phân biệt 8 bức ảnh giống nhau và khác nhau trong bài toán trên.
Nếu 8 bức ảnh là giống nhau thì ta có thể giải quyết bài toán tương tự như Bài
1.21.
18
Bài tập tự giải
Bài tập 1.26. Có bao nhiêu cách phân bố 100 sản phẩm cho 12 cửa hàng biết
rằng mỗi cửa hàng phải có ít nhất một sản phẩm.
Bài tập 1.27. Có bao nhiêu cách gửi 5 bức thư vào 5 phong bì sao cho có ít
nhất một bức thư bỏ đúng địa chỉ?
Bài tập 1.28. Có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật đôi một khác nhau cho 2 người,
sao cho mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật?
Bài tập 1.29. Có bao nhiêu cách chia 10 hoa hồng, 12 hoa cúc cho 2 em sao
cho mỗi em nhận được ít nhất 1 bông hoa hồng và 2 hoa cúc?
Bài tập 1.30. Có bao nhiêu cách chia 40 quả táo cho 4 em sao cho em thứ nhất
nhận được ít nhất 2 quả táo, em thứ tư nhận được ít hơn 35 quả?
4. Các bài toán về lập số, tạo số
Bài tập 1.31. Có bao nhiêu số tự nhiên được tạo bởi các chữ số của tập
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
b) gồm 5 chứ số đôi một khác nhau và là số chẵn?
Lời giải. Gọi số tạo thành là a1 a2. .. a5 .
a) a1 có 6 cách chọn. Số cách chọn 4 trong 6 chữ số còn lại cho 4 vị trí còn lại
là A46 cách.
Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau tạo bởi tập A là
6A46 = 2160 số.
b) TH1. a5 = 0 số cách chọn 4 trong 6 chữ số còn lại cho 4 vị trị còn lại là
A46 = 360 cách.
TH2. a5 = 0. Ta có 3 cách chọn chữ số a5 ; sau đó có 5 cách chọn chữ số a1 ,
tiếp theo chọn 3 trong 5 số còn lại cho 3 vị trí còn có A35 = 60 cách. Vậy số cách
chọn cho TH này là 3.5.A35 = 900 cách.
Theo quy tắc cộng, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là
360 + 900 = 1260 số.
19
Bài tập 1.32. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong
đó
a) có mặt đồng thời ba chữ số 0, 1, 2?
b) có mặt các chữ số 1 và 2.
Lời giải. Gọi số tạo thành là a1 a2. .. a5 .
a) Ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (vì a1 = 0), số cách chọn 2 trong số 4
vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là A24, số cách chọn 2 trong 7 chữ số còn lại
(khác 0, 1, 2) cho 2 vị trí còn lại là A27 .
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là
4.A24 .A27 = 2016 số.
b) TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0, theo a ta có các số là
4.A24 .A27 = 2016 số.
TH2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Số cách chọn 2 trong 5 vị trí
cho hai chữ số 1 và 2 là A25 ; số cách chọn 3 trong 7 chữ số còn lại (khác 0, 1, 2)
cho 3 vị trí còn lại là A37. Theo quy tắc nhân, số các số trong trường hợp này là
A25 A37 = 4200 số.
Vậy theo quy tắc cộng, số các số phải tìm là 2016 + 4200 = 6216 số.
Bài tập 1.33. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Từ tập A lập được bao nhiêu số
có 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?
Lời giải. Gọi số tạo thành là a1 a2 a3 a4 .
Trước hết, ta tính số các số tạo thành bất kỳ.
Ta có 5 cách chọn chữ số a1, chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn
lại có A35 cách. Vậy số các số tạo thành là 5A35 = 300 số.
Bây giờ, ta tính số các số tạo thành sao cho hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh
nhau.
Nếu a1 a2 = 12, số cách chọn 2 trong số 4 chữ số còn lại cho 2 vị trí còn lại
của số tạo thành là A24 .
20
Nếu a1 a2 = 12, số cách chọn vị trí cho 12 là 2 (a2 a3 và a3 a4 ); số cách chọn chữ
số cho a1 là 3; số cách chọn 1 trong 3 chữ số cho vị trí còn lại của số tạo thành
là A13 = 3, ta được 2.3.3 = 18 số.
Theo quy tắc cộng, số các số tạo thành trong đó có chứa 12 là 12 + 18 = 30
. Tương tự, số các số tạo thành có chứa 21 là 30 số.
Vậy số các số tạo thành thỏa mãn yêu cầu đề bài là
300 − 2.30 = 240 số.
Bài tập 1.34. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong đó có một
chữ số xuất hiện ba lần, một chữ số khác xuất hiện hai lần và một chữ số khác
với hai chữ số trên?
Lời giải. Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau.
Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có C63 cách chọn 3 trong 6 vị trị
cho chữ số đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất hiện
2 lần và có C32 cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó. Tiếp theo có 8
cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng. Như thế ta có thể lập được
S = 10.C63 .9C32 .8 = 720C63 C32 số.
Vì vai trò của 10 chữ số 0, 1,. .., 9 là như nau nên số các số có chữ số đầu tiên
là 0 bằng
1
S. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
10
9
S = 648C63 C32 = 38880 số.
10
Bài tập 1.35. Trong tập S = {1, 2,. .., 280} có bao nhiêu số không chia hết cho
2, 3, 5, 7.
.
.
Lời giải. Ký hiệu A1 = {k ∈ S|k ..2}; A2 = {k ∈ S|k ..3};
.
.
A3 = {k ∈ S|k ..5}; A4 = {k ∈ S|k ..7}.
Khi đó A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 là tập hợp các số chia hết cho ít nhất một trong các
số 2, 3, 5,7.
21
Ta có
280
280
280
280
= 140; |A2 | =
= 93; |A3 | =
= 56; |A4 | =
= 40;
2
3
5
7
280
280
280
|A1 ∩ A2 | =
= 46; |A1 ∩ A3 | =
= 28; |A1 ∩ A4 | =
= 20;
2.3
2.5
2.7
280
280
280
|A2 ∩ A3 | =
= 18; |A2 ∩ A4 | =
= 13; |A3 ∩ A4 | =
= 8;
15
21
35
280
280
= 9; |A1 ∩ A2 ∩ A4 | =
= 6;
|A1 ∩ A2 ∩ A3 | =
30
42
280
280
|A1 ∩ A3 ∩ A4 | =
= 4; |A2 ∩ A3 ∩ A4 | =
= 2;
70
105
280
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 | =
= 1.
210
|A1 | =
Theo nguyên lý bù trừ ta có |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 | = 216.
Vậy tập S có 280 − 216 = 64 số không chia hết cho 2, 3, 5, 7.
Bài tập tự giải
Bài tập 1.36. Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau mà hai chữ số cạnh nhau
khác tính chẵn lẻ?
Bài tập 1.37. Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số khác nhau mà trong đó có
chữ số 1 đứng phía trước chữ số 2?
Bài tập 1.38. Cho tập B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số
tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 2?
Bài tập 1.39. Cho tập C = {0, 1, 23, 4, 5}. Từ tập C lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhau
và khác 1?
Bài tập 1.40. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn tính chất số ở
vị trí thứ 3 (hàng vạn) là một số chẵn và số tự nhiên gồm 7 chữ số này không
chia hết cho 5?
22
Chương 2
Những bài toán về xác suất
Ứng dụng thực tiễn lớn nhất trong đời sống của toán học chính là xác suất.
Ảnh hưởng của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hàng ngày đó chính là việc
xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Mặt khác, lý thuyết trò chơi hay
xác định độ tin cậy cũng dựa trên nền tảng của xác suất. Bây giờ, chúng ta bắt
đầu làm quen với xác suất.
2.1
Cơ sở lý thuyết xác suất
2.1.1
Một số định nghĩa cơ bản của xác suất
Trước tiên, ta xét ví dụ sau. Gieo một con xúc xắc và quan sát số nốt trên
mặt xuất hiện của con xúc xắc. Ta thấy
• Không thể biết trước được mặt nào của con xúc xắc sẽ xuất hiện.
• Có thể xác định được rằng số chấm trên mặt xuất hiện ∈ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
a) Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà
• Kết quả của nó không đoán trước được.
• Có thể xác định được tập hợp tất cả cá kết quả có thể xảy ra ở phép thử
đó. Phép thử thường kí hiệu bởi chữ T.
b) Không gian mẫu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được
gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu bởi Ω.
23
Mục lụcMở đầu. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Chương 1 : Những bài toán đếm1. 11.22.2 Cơ sở kim chỉ nan tổng hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.1.1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân. .. .. .. .. .. .. .. . 1.1.2 Giai thừa và hoán vị. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1.1.3 Chỉnh hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1.1.4 Tổ hợp. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổng hợp có lặp. .. .. Các dạng toán đếm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.2.1 Các giải pháp đếm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.2.2 Các bài toán đếm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Chương 2 : Những bài toán về xác suất2. 123C ơ sở triết lý Phần Trăm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 232.1.1 Một số định nghĩa cơ bản của Tỷ Lệ. .. .. .. .. .. 232.1.2 Quan hệ giữa các biến cố. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 262.1.3 Các công thức tính Phần Trăm. .. .. .. .. .. .. .. .. . 28M ột số bài toán Phần Trăm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 312.2.1 Tính Phần Trăm bằng định nghĩa cổ xưa. .. .. .. .. .. 312.2.2 Tính Xác Suất bằng công thức cộng và nhân Tỷ Lệ. .. 372.2.3 Tính Phần Trăm bằng công thức Xác Suất có điều kiện kèm theo. .. . 442.2.4 Tính Xác Suất bằng công thức Phần Trăm khá đầy đủ và Bayes. 482.2.5 Tính Tỷ Lệ bằng công thức Becnoulli. .. .. .. .. .. 572.2.6 Tính Tỷ Lệ bằng định nghĩa hình học. .. .. .. .. .. 622.2.7 Các bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc. .. .. .. .. .. 67K ết luận. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 72T ài liệu tìm hiểu thêm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 73M ở đầuTổ hợp và Xác Suất là một trong những nghành toán học được nghiên cứutừ khá sớm, nó đã được khai thác và ứng dụng rất nhiều vào trong đời sống sảnxuất. Hiện nay trong giáo dục phổ thông, tổng hợp và Tỷ Lệ là một trong nhữngnội dung quan trọng, nó tiếp tục Open trong các đề thi ĐH, caođẳng, thậm chí còn là các kỳ thi học viên giỏi vương quốc và quốc tế. Mặc dù nội dungkhông khó nhưng học viên liên tục gặp khó khăn vất vả khi xử lý các bàitoán này, nhất là các bài toán tương quan đến Tỷ Lệ. Luận văn này đa phần tập trung chuyên sâu vào các dạng toán Tỷ Lệ, từ đó giúp họcsinh có cách nhìn nhận thâm thúy hơn về các bài toán tương quan đến Tỷ Lệ. Luậnvăn được chia thành hai chươngChương 1. Những bài toán về tổng hợp. Chương 2. Những bài toán về Xác Suất. Tất cả các bài toán tổng hợp trong chương 1 chính là nền móng để thiết kế xây dựng vàgiải quyết một số ít bài toán Phần Trăm trong chương 2. Hy vọng đây sẽ là một tàiliệu hữu dụng trong giảng dạy cũng như học tập của thầy, cô và các em học viên. Chương 1N hững bài toán đếmChương này ta sẽ nhắc lại 1 số ít triết lý về tập hợp cũng như lý thuyếtcơ bản của tổng hợp như hoán vị, chỉnh hợp, tổng hợp, một số ít nguyên tắc đếm và cácbài tập có tương quan trong chương trình đại trà phổ thông. 1.11.1. 1C ơ sở triết lý tổ hợpQuy tắc cộng và quy tắc nhân1. Quy tắc cộngGiả sử một việc làm hoàn toàn có thể thực thi theo giải pháp A hoặc giải pháp B, trong đó có n cách triển khai giải pháp A, m cách triển khai giải pháp B. Khiđó việc làm hoàn toàn có thể được thực thi bởi n + m cách. Tổng quát, giả sử môt việc làm hoàn toàn có thể thực thi theo một trong k phươngán A1, A2 ,. .., Ak, trong đó có n1 cách thực thi giải pháp A1, n2 cách thực hiệnphương án A2 ,. .., nk cách triển khai giải pháp Ak. Khi đó việc làm có thểđược thực thi bởi n1 + n2 + · · · + nk cách. Biểu diễn dưới dạng tập hợp. Số thành phần của tập hữu hạn A được kí hiệu là | A |. Nếu A1, A2 ,. .., An là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì | A1 ∪ A2 ∪. .. ∪ An | = | A1 | + | A2 | + · · · + | An | hay | Ak |. Ak = k = 1 k = 12. Quy tắc nhânGiả sử việc làm nào đó gồm có hai quy trình A và B, trong đó quy trình Acó thể làm theo n cách, quy trình B hoàn toàn có thể làm theo m cách. Khi đó công việccó thể thực thi theo nm cách. Tổng quát, giả sử một việc làm nào đó gồm có k quy trình A1, A2 ,. .., Ak, ôngđoạn A1 hoàn toàn có thể triển khai theo n1 cách, quy trình A2 hoàn toàn có thể triển khai theo n2cách, quy trình A3 hoàn toàn có thể triển khai theo n3 cách ,. .., quy trình Ak hoàn toàn có thể thựchiện theo nk cách. Khi đó việc làm hoàn toàn có thể thực thi theo n1 n2. .. nk cách. Biểu diễn dưới dạng tập hợp. Nếu A1, A2 ,. .., An là n tập hữu hạn với | Ak | = mk ( k = 1, 2 ,. .., n ). Khi đó | A1 × A2 × · · · × An | = m1 × mét vuông × · · · × mn = mk. k = 11.1.2 Giai thừa và hoán vị1. Giai thừaĐịnh nghĩa 1. n giai thừa, kí hiệu là n ! là tích của n số tự nhiên liên tục từ1 đến n. n ! = 1 · 2 · 3 · · · ( n − 1 ) · ( n ), n ∈ N ∗. Quy ước 0 ! = 1, 1 ! = 1.2. Hoán vịĐịnh nghĩa 2. Cho tập hợp A gồm n thành phần ( n ≥ 1 ). Một cách sắp thứ tự nphần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n thành phần đó. Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tửPn = n ! = 1 · 2 · · · ( n − 1 ) n. 1.1.3 Chỉnh hợpĐịnh nghĩa 3. Cho tập hợp A gồm n thành phần ( n ≥ 1 ). Kết quả của việc lấy kphần tử khác nhau từ n thành phần của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứtự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n thành phần đã cho. Công thứcAkn = n ! = n ( n − 1 ) ( n − k + 1 ) ( với 1 ≤ k ≤ n ). ( n − k ) ! Chú ý. Một chỉnh hợp chập n của n thành phần là một hoán vị của n phần tửAnn = Pn = n !. 1.1.4 Tổ hợpĐịnh nghĩa 4. Giả sử tập A gồm n thành phần n ≥ 1. Mỗi tập con gồm k phầntử của A được gọi là một tổng hợp chập k của n thành phần đã cho ( 1 ≤ k ≤ n ). Kí hiệu Cnk ( 1 ≤ k ≤ n ) là số các tổng hợp chập k của n thành phần. Công thứcCnk = n ! k ! ( n − k ) ! Chú ý. Cn0 = 1C nk = Cnn − k ( 0 ≤ k ≤ n ) k + 1 ( 1 ≤ k ≤ n ). Cnk + Cnk + 1 = Cn + 11.1.5 Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổng hợp có lặp1. Chỉnh hợp có lặpĐịnh nghĩa 5. Giả sử tập A gồm n thành phần ( n ≥ 1 ). Mỗi dãy có độ dài k cácphần tử của A, mà mỗi thành phần hoàn toàn có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theomột thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n thành phần. Chú ý. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n thành phần là nk. 2. Hoán vị lặpĐịnh nghĩa 6. Hoán vị trong đó mỗi thành phần Open tối thiểu một lần đượcgọi là hoán vị lặp. Chú ý. Số hoán vị lặp của n thành phần thộc k loại, mà các thành phần từ loại i ( 1 ≤ i ≤ k ) Open n lần được kí hiệu là P ( n1, n2 ,. .., nk ) và được tính bằngcông thứcP ( n1, n2 ,. .., nk ) = n ! n1 ! n2 !. .. nk ! 3. Tổ hợp lặpĐịnh nghĩa 7. Giả sử tập A gồm n thành phần ( n ≥ 1 ). Một tổng hợp chập m ( mkhông nhất thiết phải nhỏ hơn n ) của n thành phần thuộc A là một bộ gồm m phầntử, mà mỗi thành phần này là một trong các thành phần của A.Chú ý. Số tổng hợp có lặp chập m của n thành phần làn − 1C nm = Cn + m − 1 = Cn + m − 11.2 Các dạng toán đếm1. 2.1 Các giải pháp đếm1. Phương pháp đếm trực tiếpTùy theo bài toán ta hoàn toàn có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp đểđếm các trường hợp thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán. 2. Phương pháp đếm vị trí + B1. Chọn vị trí cho số thứ nhất theo nhu yếu bài toán, suy ra số vị trí chocác số tiếp theo. + B2. Sắp xếp các số còn lại. 3. Phương pháp đếm loại trừ + B1. Đếm số giải pháp xảy ra bất kể ta có tác dụng n1. + B2. Đếm số giải pháp không thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán ta có hiệu quả n2. + B3. Số giải pháp đúng là n = n1 − n2. Ta sử dụng giải pháp đếm loại trừ khi giải pháp đếm trực tiếp có quánhiều trường hợp. 4. Phương pháp lấy trước rồi xếp sau + B1. Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn nhu cầu tích chất mà bài toán yêucầu. + B2. Sắp xếpPhương pháp này dùng cho các bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, xuất hiện. 5. Phương pháp tạo vách ngăn + B1. Sắp xếp m đối tượng người dùng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn. + B2. Sắp xếp đối tượng người tiêu dùng khác nhau theo nhu yếu bài toán vào m + 1 váchngăn trên. 6. Công thức bao hàm loại trừCho A1, A2 là hai tập hữu hạn, khi đó | A1 ∪ A2 | = | A1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2 |. Từ đó với ba tập hữu hạn A1, A2, A3 ta có | A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩ A2 | − | A1 ∩ A3 | − | A2 ∩ A3 | + | A1 ∩ A2 ∩ A3 |. Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2 ,. .., Ak ta có | A1 ∪ A2 ∪. .. ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 −. .. + ( − 1 ) k − 1 Nk, trong đó Nm ( 1 ≤ m ≤ k ) là tổng thành phần của tổng thể các giao m tập lấy từ k tậpđã cho, nghĩa là | Ai1 ∩ Ai2 ∩. .. ∩ Aim |. Nm = 1 ≤ i1Bây giờ, ta như nhau tập Am ( 1 ≤ m ≤ k ) với đặc thù Am cho trên tập hữuhạn A nào đó và đếm xem có bao nhiêu thành phần của A “ không thỏa mãn nhu cầu mộttính chất Am nào ”. Gọi N là số cần đếm, N là số thành phần của A. Ta cóN = N − | A1 ∪ A2 ∪. .. ∪ Ak | = N − N1 + N2 −. .. + ( − 1 ) k Nk, trong đó Nm là tổng các thành phần của A thỏa mãn nhu cầu m đặc thù lấy từ k tính chấtđã cho. Công thức này gọi là công thức bao hàm và loại trừ. Nhận xét. Hầu nết các bài toán tổng hợp đều sử dụng một trong các chiêu thức trênđể xử lý, tuy nhiên sự linh động của chiêu thức tùy thuộc vào khả năngcủa học viên. Đối với bài toán khởi đầu có số 0, ta xét trường hợp xem số 0 là một số ít cónghĩa, được tác dụng n1 ; xét trường hợp số 0 đứng đầu, ta được tác dụng là n2, tác dụng cần tìm sẽ là n1 − n2. 1.2.2 Các bài toán đếm1. Chọn một nhóm thành phần từ một hay nhiều tập hợpBài tập 1.1. Một lớp học có 40 em gồm 25 nam, 15 nữ. Cần chọn một ban cánsự gồm 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếua ) Ban cán sự có tối thiểu một nam ? b ) Ban cán sự có tối thiểu một nam và một nữ ? Lời giải. a ) Nếu trong ban cán sự lớp có tối thiểu 1 bạn nam thì có 4 khả năngxảy ra1 · C 3 cách chọn. 1 nam và 3 nữ có C25152 · C 2 cách chọn. 2 nam và 2 nữ có C25153 · C 1 cách chọn. 3 nam và 1 nữ có C25154 cách chọn. 4 nam và không có nữ có C25Vậy có tất cảC25 · C15 + C25 · C15 + C25 · C15 + C25 = 469576 cách. 4 cách chọn. Nếu ban cán sự gồm toànb ) Nếu ban cán sự gồm toàn nam có C254 cách chọn. Ban cán sự gồm 4 người bất kể có C 4 cách chọn. Vậy sốnữ có C1540cách chọn thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài làC40 − C25 − C15 = 77375 cách. Bài tập 1.2. Người ta sử dụng 3 loại sách gồm 8 cuốn sách về Toán, 6 cuốnsách về Lí và 5 cuốn sách về Hóa. Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đôi một khácnhau. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giải thưởngsao cho mỗi loại có tối thiểu một cuốn ? 7. Bây giờ, ta tính sốLời giải. Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách bất kể là C19cách chọn sao cho không có đủ 3 loại sách. Chọn 7 trong số 11 cuốn sách Lí và7 cách. Chọn 7 trong số 13 cuốn sách Toán và Hóa có C 7 cách. ChọnHóa có C11137 cách. Chọn 7 trong số 8 cuốn sách7 trong số 14 cuốn sách Toán và Lí có C14Toán có C87 cách. Áp dụng công thức bao hàm loại trừ, số cách chọn phải tìm là − C87 = 44918 cách. − C14 − C13 − C11C19Bài tập 1.3. ( Đề thi ĐH, cac đẳng khối D-2006 ). Đội người trẻ tuổi xung kíchcủa một trường đại trà phổ thông có 12 học viên gồm 5 học viên lớp T, 4 học viên lớpL và 3 học viên lớp H. Cần chọn 4 học viên đi làm trách nhiệm sao cho 4 học sinhkhông thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? Lời giải. Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học viên trong 12 học viên, B làtập hợp cách chọn không thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài, C là tập hợp cách chọnthỏa mãn nhu yếu đề bài. Ta có A = B ∪ C, B ∩ C = ∅. Theo quy tắc cộng ta có4 = 495. Để tính | B |, ta nhận | A | = | B | + | C | ⇔ | C | = | A | − | B |. Dễ thấy | A | = C12thấy sẽ chọn 1 lớp có hai học viên, hai lớp còn lại mỗi lớp một học viên. Theoquy tắc cộng và quy tắc nhân ta có | B | = C52 C41 C31 + C51 C42 C31 + C51 C41 C32 = 270. Suy ra | C | = 495 − 270 = 225. Bài tập 1.4. Trên một tủ sách có 12 quyển sách đứng cạnh nhau. Hỏi có baonhiêu cách chọn 5 quyển mà không có 2 quyển nào đứng cạnh nhau ? Lời giải. Số cách chọn 5 quyển sách thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài chính là số cáchxếp 5 quyển sách giống nhau vào một ngăn sách đã đặt sẵn 7 quyển sách saocho trong 5 quyển này không có 2 quyển nào đặt cạnh nhau. 7 quyển sách trêngiá sẽ tạo ra 8 khoảng trống. Xếp 5 quyển sách vào 8 vị trí sao cho mỗi quyểnở một vị trí có C85 cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán là C85 cách. Bài tập 1.5. Có 12 người ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọnra 5 người mà không có 2 người nào ngồi cạnh nhau ? 10L ời giải. Ta cố định và thắt chặt một người và đặt người này là A.Nếu 5 người được chọn xuất hiện người A suy ra không hề chọn 2 người ngồicạnh A nữa, vậy ta sẽ chọn 4 người trong 9 người còn lại sao cho trong 4 ngườinày, không có 2 người nào ngồi cạnh nhau. Theo Bài tập 1.4 ở trên, số cách chọnsẽ là C64 cách. Nếu 5 người được chọn không có A, vậy ta chọn 5 người trong số 11 ngườicòn lại, theo trên ta có C75 cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn nhu cầu đề bài là C64 + C75 = 36 ( cách ). Bài tập tự giảiBài tập 1.6. ( Đề thi ĐH, cao đẳng khối B-2014 ). Trong một môn học, thầygiáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó hoàn toàn có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khácnhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễkhông ít hơn 2 ? Bài tập 1.7. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm k người trong số n ngườisao cho có một người làm nhóm trưởng. Bài tập 1.8. Có bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách từ giá sách gồm 6 quyểnsao cho có đúng 2 quyển đứng cạnh nhau ? Bài tập 1.9. Có 10 cây giống gồm xoài, mít, ổi trong đó có 6 cây xoài, 3 mítvà 1 ổi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 cây trong đó có đủ cả 3 loại ? Bài tập 1.10. Có 10 người ngồi cạnh nhau quanh một bàn tròn. Hỏi có baonhiêu cách chọn ra 3 người sao cho 3 người đó ngồi cạnh nhau ? 2. Sắp xếp thứ tự các phần tửBài tập 1.11. Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3 viênbi đỏ đôi một khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bi vào 12 ô theomột hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi ? Lời giải. Nếu tổng thể 12 viên bi đều khác nhau thì số hoán vị chúng tạo thành làP12 = 12 !. Nhưng các hoán vị của 5 bi xanh và các hoán vị của 4 bi trắng cho11cùng một cách sắp xếp so với 12 viên bi nên số cách sắp xếp phải tìm làP1212 ! = 166320 cách. P5 P45 ! 4 ! Bài tập 1.12. Cần xếp 5 bạn nam và 4 bạn nữ theo một hàng dọc mà khôngcho phép hai bạn nữ nào đứng liền kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ? Lời giải. Đầu tiên, ta sắp xếp 5 bạn nam theo một hàng dọc có khoảng cách, tacó P5 = 5 ! cách xếp 5 bạn nam. Với mỗi cách xếp 5 bạn nam ta đều có 6 vị trí để xếp các bạn nữ vào, đó làvị trí đứng đầu, 4 vị trị xen giữa và vị trí đứng cuối. Số cách sắp xếp 4 bạn nữđối với cách sắp xếp bạn nam sẽ là A46. Vậy có P5 A46 = 43200 cách sắp xếp thỏamãn nhu yếu bài toán. Bài tập 1.13. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học viên nam và 3 học viên nữngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học viên nữ nào ngồi cạnh nhau ? Lời giải. Trước tiên ta sắp xếp vị trí cho 5 học viên nam. Bạn nam thứ nhất cómột cách chọn chỗ ngồi vì chỗ ngồi nào cũng không phân biệt so với vị trí bàntròn. Xếp 4 người nam còn lại có P4 cách xếp. Sau khi xếp 5 bạn nam vào bàn tròn, ta sẽ có 5 khoảng chừng xen kẽ giữa các bạnnam. Xếp 3 bạn nữ vào 5 vị trí này có A35 cách xếp. Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn nhu cầu nhu yếu là 4 ! A35 ( cách ). Bài tập 1.14. Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước, Anh 3 người, Nga 5 người, Mỹ 2 người, Pháp 3 người, Trung quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêucách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồicạnh nhau ? Lời giải. Nếu một phái đoàn nào ngồi vào trước thì bốn phái đoàn còn lại có 4 ! cách xếp. Như vậy có 24 cách sắp xếp các phái đoàn ngồi theo vương quốc mình. Bây giờ ta xem có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho nội bộ từng phái đoàn. Từ giả thiết ta có3 ! cách sắp xếp cho phái đoàn Anh5 ! cách sắp xếp cho phái đoàn Nga122 ! cách sắp xếp cho phái đoàn Mỹ3 ! cách sắp xếp cho phái đoàn Pháp4 ! cách sắp xếp cho phái đoàn Trung Quốc. Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp cho hội nghị làn = 4 ! 3 ! 5 ! 2 ! 3 ! 4 ! = 4976640 cách. Bài tập 1.15. Có n bạn nam và n bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2 n bạnnày ngồi vào hai dãy ghế đối lập sao cho nam nữ ngồi đối lập ? Lời giải. Xếp n bạn nam vào một dãy ghế có n ! cách. Xếp n bạn nữ vào một dãy ghế có n ! cách. Đổi chỗ n cặp nam nữ đối lập có 2.2. .. . 2 = 2 n cách. Vậy số cách xếp 2 n bạn nàm và nữ vào hai dãy ghế đối lập sao cho nam nữngồi đối lập là ( n ! ) 2. 2 n cách. Bài tập tự giảiBài tập 1.16. ( Trích VMO 2005 – Bảng B ). Theo dõi hiệu quả học tập ở mộtlớp học ta thấyhơn 2/3 số học viên đạt điểm giỏi ở môn toán và môn vật lí ; hơn 2/3 số học viên đạt điểm giỏi ở môn văn và môn lịch sử vẻ vang ; hơn 2/3 số học viên đạt điểm giỏi ở môn lịch sử vẻ vang và môn toán. Chứng minh rằng trong lớp có tối thiểu một học viên đạt điểm giỏi ở cả bốn mônToán, Vật lí, Văn và Lịch sử. Bài tập 1.17. Một tổ có 10 học viên. Hỏi có bao nhiêu cácha ) Xếp 10 học viên thành một hàng dọc. b ) Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế. Bài tập 1.18. Phân phối n quả cầu phân biệt vào m hộp phân biệt n ≥ m. Cóbao nhiêu cách phân phối màa, Hộp hoàn toàn có thể chứa nhiều hoặc không chứa quả cầu nào ? b, Mỗi hộp chứa tối thiểu một quả cầu ? 13B ài tập 1.19. Có 6 học viên nam và 3 học viên nữ xếp hàng dọc đi vào lớp. Cóbao nhiêu cách xếp mà học viên nữ đứng đầu hàng ? Bài tập 1.20. Giả sử có cặp số nguyên dương k, n mà k ≤ n. Có bao nhiêu dãygồm n số 0 và k số 1 mà không có hai chữ số 1 nào đứng cạnh nhau ? 3. Phân chia tập hợp các thành phần thành các tập hợp conBài tập 1.21. Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người saocho mỗi người nhận được tối thiểu 1 đồ vật ? Lời giải. Giả sử 100 đồ vật được xếp thành hàng ngang, giữa chúng có 99 khoảngtrống. Đặt một cách bất kể 3 vạch vào 3 trong số 99 khoảng chừng trống đó, ta đượcmột cách chia 100 đồ vật ra thành 4 phần để lần lượt gán cho 4 người. Khi đó, mỗi người nhận được tối thiểu một đồ vật và tổng số đồ vật của 4 người đó bằng100, thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán. 3 = 156849 cách. Vậy số cách chia là C99Ngoài cách làm trên thì bài toán còn hoàn toàn có thể xử lý bằng phương pháphàm sinh. Tôi xin đưa ra 1 số ít triết lý cơ bản về hàm sinh ( xem [ 1 ] ). Hàm sinh của dãy số thực a0, a1 ,. .., an ,. .. là hàm số được xác lập bởiG ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · · Một số đẳng thức tương quan đến hàm sinh = 1 + x + x2 + x3 + · · · 1 − x = 1 + 2 x + 3×2 + 4×3 + · · · ( 1 − x ) n ( n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 = 1 + nx + x + x + · · · = ( 1 − x ) 2 ! 3 ! = 1 − x + x2 − x3 + · · · 1 + x = 1 + 2 ax + 3 a2 x2 + 4 a3 x3 + · · · ( 1 − ax ) 2 = 1 + xr + x2r + x3r +. .. 1 − xr14Ci + n − 1 xii = 0 Ý tưởng chung của giải pháp sử dụng hàm sinh giải bài toán đếm là đitìm thông số của xi trong khai triển của hàm sinh với i là số thành phần được chọn ratrong n đối tượng người tiêu dùng với những điều kiện kèm theo ràng buộc cho trước. Cụ thể trong bàitoán trên, hàm sinh cho số cách chia đồ vật cho người thứ nhất làA ( x ) = x + x2 + x3 + · · · + x97 = x1 − x971 − xTại sao tổng trên ta chỉ mở màn từ x1 và kết thúc ở x97 ? Đó là vì người thứ nhấtchắc chắn nhận được một đồ vật, ba người còn lại cũng nhận được tối thiểu mộtđồ vật nên số đồ vật người thứ nhất nhận được chỉ hoàn toàn có thể lầ từ 1 đến 97. Tươngtự, hàm sinh cho số cách chia đồ vật cho người thứ hai, ba, bốn cũng là A ( x ). Vậy hàm sinh cho số cách phân phối 100 đồ vật giống nhau cho bốn ngườisao cho mỗi người nhận được tối thiểu một đồ vật làG ( x ) = ( A ( x ) ) = x1 − x971 − x ( x − x98 ) 4 ( 1 − x ) 4B ây giờ ta chỉ cần đi tìm thông số của x100 trong khai triển của G ( x ) và đó cũng làkết quả của bài toán. Ta có ( x − x98 ) 4 = ( x4 − 4×101 + 6×198 − 4×295 + x392 ) ( 1 − x ) 4C i + 3 xi. i = 096. Ta chỉ cần tìm i sao cho x4 xi = x100, hay i = 96. Suy ra thông số của x100 là C9996 = 156849 cách chia thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài. Vậy có C99Bài tập 1.22. Cô giáo có 12 quyển vở giống hệt nhau để làm phần thưởng choba học viên A, B, C. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chia vở cho ba học viên biếtA phải nhận được tối thiểu 4 quyển, B và C mỗi người tối thiểu 2 quyển nhưng Ckhông được nhiều hơn 5 quyển ? Lời giải. Trước tiên ta chia cho A 4 quyển, B và C mỗi người 2 quyển thì số vởcòn lại sẽ còn là 12 − 8 = 4 quyển. Bây giờ ta liên tục chia 4 quyển còn lại choA, B, C nhưng với điều kiện kèm theo C không được có quá 3 quyển. 15TH 1. C không nhận được quyển nào trong 4 quyển, chia 4 quyển cho A và Bcó 5 cách chia. TH 2. C nhận được 1 quyển, chia 3 quyển còn lại cho A và B có 4 cách chia. TH 3. C nhận được 2 quyển, chia 2 quyển còn lại cho A và B có 3 cách chia. TH 4. C nhận được 3 quyển, chia 1 quyển còn lại cho A và B có 2 cách chia. Vậy số cách chia thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài là5 + 4 + 3 + 2 = 14 ( cách ). Bây giờ, ta hãy thử giải bài toán theo chiêu thức hàm sinh. Hàm sinh chosố cách chia vở cho A làA ( x ) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = x41 − x51 − xHàm sinh cho số cách chia vở cho B làB ( x ) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = x21 − x51 − xHàm sinh cho số cách chia vở cho C làC ( x ) = x2 + x3 + x4 + x5 = x21 − x41 − xHàm sinh cho số cách chia 12 quyển vở cho A, B, C làG ( x ) = A ( x ) B ( x ) C ( x ) 1 − x5 2 1 − x 5 2 1 − x4x8 ( 1 − x5 ) 2 ( 1 − x4 ) 1 − x1 − x1 − x ( 1 − x ) 3 = x8 ( 1 − 2×5 + x10 ) ( 1 − x4 ) x − 1 = ( x8 − x12 − 2×13 + 2×17 + x18 − x22 ) x − 1 = x4 ( x − 1 ) 31C64 − 1C20 = 14. Ta có ∞ ii = 0 ci + 2 xnên thông số của x12 trong khai triển của G ( x ) làVậy số cách chia là 14 cách. Nhận xét. Thoạt nhìn khởi đầu tất cả chúng ta thấy cách giải bằng hàm sinh dài hơncách giải thường thì nhưng tâm lý sâu thêm tất cả chúng ta sẽ thấy so với nhữngbài dữ liệu lớn thì cách liệt kê tỏ ra kém hiệu suất cao, thậm chí còn khó hoàn toàn có thể giảiquyết được. Ta xét bài toán sau. 16B ài tập 1.23. Trong túi xách của Long có 10 chiếc nhẫn vàng, 20 chiếc nhẫnbạc và 30 chiếc nhẫn bạch kim. Hỏi Long có bao nhiêu cách chọn ra 30 đồ vậtđể đem bán biết rằng mỗi loại trang sức đẹp có tối thiểu một đồ vật được lấy ra. Lời giải. Bài toán trên sẽ xảy ra rất nhiều trường hợp nếu xử lý theo phươngpháp thường thì. Ta sẽ xử lý bài toán trên bằng chiêu thức hàm sinh. Hàm sinh cho số cách chọn nhẫn vàng làA ( x ) = x + x2 + x3 + · · · + x10 = x1 − x101 − xHàm sinh cho số cách chọn nhẫn bạc làB ( x ) = x + x2 + x3 + · · · + x20 = x1 − x201 − xHàm sinh cho số cách chọn nhẫn bạch kim làC ( x ) = x + x2 + x3 + · · · + x28 = x1 − x281 − xHàm sinh cho số cách chọn 30 đồ vật đem bán, biết rằng mỗi loại trang sức đẹp cóít nhất một loại được lấy ra làG ( x ) = A ( x ) B ( x ) C ( x ) = x3 ( 1 − x10 ) ( 1 − x20 ) ( 1 − x28 ) ( 1 − x ) 3 = ( x3 − x13 − x23 + x33 − x31 + x41 + x51 − x61 ) Ta có ( 1 − x ) 3 ( 1 − x ) 3C i + 2 xi. i = 027 − 1C 17 − 1C 7 = 199. Suy ra thông số của x30 trong khai triển của G ( x ) là 1C2919 Vậy Long có 199 cách chọn 30 đồ vật đem đi bán mà mỗi loại có tối thiểu mộtđồ vật được lấy ra. Bài tập 1.24. Có bao nhiêu cách phân phối 25 quả bóng giống hệt nhau vào 7 hộp riêng không liên quan gì đến nhau sao cho hộp đầu có không quá 10 quả bóng và số bóng là tùy ýtrong sáu hộp còn lại. 17L ời giải. Hàm sinh cho số cách chọn bóng vào hộp tiên phong làA ( x ) = 1 + x + x + · · · + x101 − x111 − xHàm sinh cho số cách chọn bóng vào hộp hai, ba, bốn, năm, sáu, bảy làB ( x ) = 1 + x + x2 + · · · + x25 = 1 − x261 − xHàm sinh cho số cách phân phối 25 quả bóng vào bảy hộp này làG ( x ) = A ( x ) [ B ( x ) ] 6 = ( 1 − x11 ) Ta có ( 1 − x ) 7 ( 1 − x26 ) 6 ( 1 − x ) 7C i + 6 xi. i = 025 − 1C 14 = 697521. Suy ra thông số của x25 là 1C3120 Vậy số cách chia thỏa mãn nhu cầu nhu yếu là 697521 cách. Bài tập 1.25. Có bao nhiêu cách gửi 8 bức ảnh khác nhau vào 5 phong bì khácnhau sao cho mỗi phong bì có tối thiểu một bức ảnh ? Lời giải. Gửi 8 bức ảnh vào 5 phong bì có 58 cách. Bây giờ ta tính xem có bao nhiêu cách phân phối ảnh mà có r phong bì khôngcó ảnh ( 1 ≤ r ≤ 4 ). Trong trường hợp r phong bì không có ảnh thì 8 ảnh rải mộtcách tự do cho ( 5 − r ) phong bì nên có ( 5 − r ) 8 cách. Mặt khác, khi chọn r phongbì trong 5 phong bì có C5r cách. Áp dụng công thức bao hàm loại trừ thì số cáchphân phối 8 ảnh vào 5 phong bì mà không có phong bì nào rỗng là58 − C51 48 + C52 38 − C53 28 + C54 18 = 12600 ( cách ). Chú ý. Ta cần phân biệt 8 bức ảnh giống nhau và khác nhau trong bài toán trên. Nếu 8 bức ảnh là giống nhau thì ta hoàn toàn có thể xử lý bài toán tựa như như Bài1. 21.18 Bài tập tự giảiBài tập 1.26. Có bao nhiêu cách phân bổ 100 loại sản phẩm cho 12 shop biếtrằng mỗi shop phải có tối thiểu một loại sản phẩm. Bài tập 1.27. Có bao nhiêu cách gửi 5 bức thư vào 5 phong bì sao cho có ítnhất một bức thư bỏ đúng địa chỉ ? Bài tập 1.28. Có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật đôi một khác nhau cho 2 người, sao cho mỗi người nhận được tối thiểu một đồ vật ? Bài tập 1.29. Có bao nhiêu cách chia 10 hoa hồng, 12 hoa cúc cho 2 em saocho mỗi em nhận được tối thiểu 1 bông hoa hồng và 2 hoa cúc ? Bài tập 1.30. Có bao nhiêu cách chia 40 quả táo cho 4 em sao cho em thứ nhấtnhận được tối thiểu 2 quả táo, em thứ tư nhận được ít hơn 35 quả ? 4. Các bài toán về lập số, tạo sốBài tập 1.31. Có bao nhiêu số tự nhiên được tạo bởi các chữ số của tậpA = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } a ) gồm 5 chữ số đôi một khác nhau ? b ) gồm 5 chứ số đôi một khác nhau và là số chẵn ? Lời giải. Gọi số tạo thành là a1 a2. .. a5. a ) a1 có 6 cách chọn. Số cách chọn 4 trong 6 chữ số còn lại cho 4 vị trí còn lạilà A46 cách. Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau tạo bởi tập A là6A46 = 2160 số. b ) TH1. a5 = 0 số cách chọn 4 trong 6 chữ số còn lại cho 4 vị trị còn lại làA46 = 360 cách. TH2. a5 = 0. Ta có 3 cách chọn chữ số a5 ; sau đó có 5 cách chọn chữ số a1, tiếp theo chọn 3 trong 5 số còn lại cho 3 vị trí còn có A35 = 60 cách. Vậy số cáchchọn cho TH này là 3.5. A35 = 900 cách. Theo quy tắc cộng, số các số tự nhiên thỏa mãn nhu cầu nhu yếu là360 + 900 = 1260 số. 19B ài tập 1.32. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trongđóa ) xuất hiện đồng thời ba chữ số 0, 1, 2 ? b ) xuất hiện các chữ số 1 và 2. Lời giải. Gọi số tạo thành là a1 a2. .. a5. a ) Ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 ( vì a1 = 0 ), số cách chọn 2 trong số 4 vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là A24, số cách chọn 2 trong 7 chữ số còn lại ( khác 0, 1, 2 ) cho 2 vị trí còn lại là A27. Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là4. A24. A27 = năm nay số. b ) TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0, theo a ta có các số là4. A24. A27 = năm nay số. TH2. Trong số tạo thành không có chữ số 0. Số cách chọn 2 trong 5 vị trícho hai chữ số 1 và 2 là A25 ; số cách chọn 3 trong 7 chữ số còn lại ( khác 0, 1, 2 ) cho 3 vị trí còn lại là A37. Theo quy tắc nhân, số các số trong trường hợp này làA25 A37 = 4200 số. Vậy theo quy tắc cộng, số các số phải tìm là năm nay + 4200 = 6216 số. Bài tập 1.33. Cho tập hợp A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }. Từ tập A lập được bao nhiêu sốcó 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau ? Lời giải. Gọi số tạo thành là a1 a2 a3 a4. Trước hết, ta tính số các số tạo thành bất kể. Ta có 5 cách chọn chữ số a1, chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại cho 3 vị trí cònlại có A35 cách. Vậy số các số tạo thành là 5A35 = 300 số. Bây giờ, ta tính số các số tạo thành sao cho hai chữ số 1 và 2 đứng cạnhnhau. Nếu a1 a2 = 12, số cách chọn 2 trong số 4 chữ số còn lại cho 2 vị trí còn lạicủa số tạo thành là A24. 20N ếu a1 a2 = 12, số cách chọn vị trí cho 12 là 2 ( a2 a3 và a3 a4 ) ; số cách chọn chữsố cho a1 là 3 ; số cách chọn 1 trong 3 chữ số cho vị trí còn lại của số tạo thànhlà A13 = 3, ta được 2.3.3 = 18 số. Theo quy tắc cộng, số các số tạo thành trong đó có chứa 12 là 12 + 18 = 30. Tương tự, số các số tạo thành có chứa 21 là 30 số. Vậy số các số tạo thành thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài là300 − 2.30 = 240 số. Bài tập 1.34. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong đó có mộtchữ số Open ba lần, một chữ số khác Open hai lần và một chữ số khácvới hai chữ số trên ? Lời giải. Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau. Có 10 cách chọn chữ số Open 3 lần và có C63 cách chọn 3 trong 6 vị trịcho chữ số đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ số ( khác với chữ số trên ) xuất hiện2 lần và có C32 cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó. Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại sau cuối. Như thế ta hoàn toàn có thể lập đượcS = 10. C63. 9C32. 8 = 720C63 C32 số. Vì vai trò của 10 chữ số 0, 1 ,. .., 9 là như nau nên số các số có chữ số đầu tiênlà 0 bằngS. Vậy số các số thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán là10S = 648C63 C32 = 38880 số. 10B ài tập 1.35. Trong tập S = { 1, 2 ,. .., 280 } có bao nhiêu số không chia hết cho2, 3, 5, 7. Lời giải. Ký hiệu A1 = { k ∈ S | k .. 2 } ; A2 = { k ∈ S | k .. 3 } ; A3 = { k ∈ S | k .. 5 } ; A4 = { k ∈ S | k .. 7 }. Khi đó A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 là tập hợp các số chia hết cho tối thiểu một trong cácsố 2, 3, 5,7. 21T a có280280280280 = 140 ; | A2 | = = 93 ; | A3 | = = 56 ; | A4 | = = 40 ; 280280280 | A1 ∩ A2 | = = 46 ; | A1 ∩ A3 | = = 28 ; | A1 ∩ A4 | = = 20 ; 2.32.52. 7280280280 | A2 ∩ A3 | = = 18 ; | A2 ∩ A4 | = = 13 ; | A3 ∩ A4 | = = 8 ; 152135280280 = 9 ; | A1 ∩ A2 ∩ A4 | = = 6 ; | A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 3042280280 | A1 ∩ A3 ∩ A4 | = = 4 ; | A2 ∩ A3 ∩ A4 | = = 2 ; 70105280 | A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 | = = 1.210 | A1 | = Theo nguyên tắc bù trừ ta có | A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 | = 216. Vậy tập S có 280 − 216 = 64 số không chia hết cho 2, 3, 5, 7. Bài tập tự giảiBài tập 1.36. Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. Từ tập A hoàn toàn có thể lập được baonhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau mà hai chữ số cạnh nhaukhác tính chẵn lẻ ? Bài tập 1.37. Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số khác nhau mà trong đó cóchữ số 1 đứng phía trước chữ số 2 ? Bài tập 1.38. Cho tập B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Từ chúng viết được bao nhiêu sốtự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 2 ? Bài tập 1.39. Cho tập C = { 0, 1, 23, 4, 5 }. Từ tập C lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhauvà khác 1 ? Bài tập 1.40. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn nhu cầu đặc thù số ởvị trí thứ 3 ( hàng vạn ) là một số chẵn và số tự nhiên gồm 7 chữ số này khôngchia hết cho 5 ? 22C hương 2N hững bài toán về xác suấtỨng dụng thực tiễn lớn nhất trong đời sống của toán học chính là Tỷ Lệ. Ảnh hưởng của kim chỉ nan Phần Trăm trong đời sống hàng ngày đó chính là việcxác định rủi ro đáng tiếc và trong kinh doanh sản phẩm & hàng hóa. Mặt khác, kim chỉ nan game show hayxác định độ an toàn và đáng tin cậy cũng dựa trên nền tảng của Phần Trăm. Bây giờ, tất cả chúng ta bắtđầu làm quen với Tỷ Lệ. 2.1 Cơ sở kim chỉ nan xác suất2. 1.1 Một số định nghĩa cơ bản của xác suấtTrước tiên, ta xét ví dụ sau. Gieo một con xúc xắc và quan sát số nốt trênmặt Open của con xúc xắc. Ta thấy • Không thể biết trước được mặt nào của con xúc xắc sẽ Open. • Có thể xác lập được rằng số chấm trên mặt Open ∈ A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 1. Phép thử ngẫu nhiên và khoảng trống mẫua ) Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành vi mà • Kết quả của nó không đoán trước được. • Có thể xác lập được tập hợp tổng thể cá tác dụng hoàn toàn có thể xảy ra ở phép thửđó. Phép thử thường kí hiệu bởi chữ T.b ) Không gian mẫu. Tập hợp toàn bộ các hiệu quả hoàn toàn có thể xảy ra của phép thử đượcgọi là khoảng trống mẫu của phép thử và được ký hiệu bởi Ω. 23
